数学史

古希腊数学：从毕达哥拉斯到阿基米德 一、米利都的曙光 在古埃及和巴比伦，数学是簿记员和祭司的手艺——丈量尼罗河泛滥后的土地，计算谷仓的容积，编制天文历表。没有谁问"为什么"，经验够用就行。把这个局面打破的，是小亚细亚西海岸的希腊殖民城邦米利都。 ...

印度与阿拉伯数学：零、代数与三角学 一、印度：十进制与零的诞生 公元五世纪，当西罗马帝国的废墟上学术凋零时，印度的数学正迎来黄金时代。印度人对数学最深刻的贡献不是某条定理，而是一套记数系统：十进制位值制——同一个数字"7"，写在个位是七，写在十位是七十，写在百位是七百。这个我们今天习以为常的规则，在古代世界并不理所当然：罗马数字里没有位值概念，写一个大数要堆一长串符号；希腊人用二十七个字母记数，同样笨拙。位值制让计算从少数专家的秘技变成人人可学的技术。印度的数学传统其实更早：《吠陀》时代的**《绳法经》**（约公元前八至二世纪）已记载祭坛建筑中的几何知识，包括勾股定理的应用和化圆为方的近似算法。 ...

文艺复兴与代数学：三次方程之争 一、帕乔利的断言与商业数学的土壤 十五世纪末的意大利，城邦林立，商业繁荣。威尼斯的商人要算汇率，佛罗伦萨的银行家要算复利，建筑师的工地上要算拱顶的受力——这些需求养活了一个新的职业阶层：算术教师（maestri d’abaco）。他们开课授徒，编写商用算术书，数学从修道院的七艺课程走进了市场。1478 年在特雷维索印行的无名氏算术书，是欧洲最早的印刷算术教科书之一，通篇都是"三个商人合伙经商"这样的实务题。 ...

微积分的诞生：牛顿、莱布尼茨与优先权之争 一、前夜：不可分量与解析几何 微积分不是从天上掉下来的。十七世纪上半叶，四类问题把数学家逼到了墙角：求曲线的切线（光学与运动学）、求函数的极值（射程最远的仰角）、求曲边形的面积与体积（天文与测量）、求变速运动的路程。每类问题都有零散的成功，但没有通用的方法。 ...

欧拉专题：七桥、最美公式与拓扑学的萌芽 一、欧拉其人：最忙碌的数学家 莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler，1707—1783 年）出生在瑞士巴塞尔的一个牧师家庭，父亲保罗·欧拉年轻时听过雅各布·伯努利的数学课，却希望儿子继承神职。欧拉十三岁进入巴塞尔大学，被当时欧洲头号数学家约翰·伯努利收为私淑弟子——伯努利每周六下午单独给他授课，不久便断定这个学生的天分在自己之上。1727 年，在约翰之子丹尼尔·伯努利的引荐下，二十岁的欧拉远赴彼得大帝 1724 年下令创建的圣彼得堡科学院——初到俄国时，他拿到的聘书竟是生理学方向，六年后丹尼尔回国，他才正式执掌数学讲座；1741 年应腓特烈大帝之邀转赴柏林科学院，一住二十五年；1766 年又受叶卡捷琳娜二世重金礼聘重返圣彼得堡，终老于此。 ...

高斯与 19 世纪数学 一、从不伦瑞克到哥廷根 1777 年 4 月 30 日，卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）出生在德意志不伦瑞克的一个劳工家庭。关于他的早慧，流传最广的故事是：小学老师为让学童安静，要求计算 1 加到 100，小高斯立刻发现首尾配对各得 101、共 50 对，写下 5050。这个故事的细节未必可靠，但他的天赋很快引来了不伦瑞克公爵的资助：1792 年入卡罗琳学院，1795 年进入哥廷根大学。 ...

非欧几何专题 一、一条公设的两千年悬案 公元前 300 年前后，欧几里得在《几何原本》开篇列出五条公设，前四条简洁得近乎显然——任意两点可连直线、线段可无限延长、以任意中心和半径可作圆、凡直角都相等。唯独第五公设长得别扭：若一条直线与两条直线相交，且在某一侧构成的两个同侧内角之和小于两直角，则这两条直线不断延长后必在这一侧相交。 ...

集合论与数学基础危机 一、康托尔：给无穷分级 19 世纪以前的数学家对无穷的态度是敬而远之：高斯说"无穷只是一种说法"，亚里士多德只允许"潜在的无穷"——你可以一直数下去，但"全体自然数"这个完成了的整体不许进场。格奥尔格·康托尔（Georg Cantor，1845—1918 年）打破了这道禁令。这位出生于圣彼得堡、后随家迁居德意志、长期任教于哈雷大学的数学家，1873 年与戴德金通信时提出一个看似简单的问题：全体正整数能和全体正实数一一对应吗？ ...

概率论史 一、赌桌上的史前史 人类赌博的历史和文明一样古老，但"机会可以用数学计算"的念头出现得惊人地晚。1494 年，“会计学之父"卢卡·帕西奥利在《算术、几何、比及比例概要》中印出了那个后来大名鼎鼎的点数分配问题：两人赌先胜六局者赢，战成五比三时中断，赌注怎么分？帕西奥利按已胜局数五比三切分——后世证明这是错的，但问题本身已在印刷品里流传。第一个系统处理骰子问题的是意大利全才杰罗拉莫·卡尔达诺（Gerolamo Cardano，1501—1576 年）——这位以三次方程解法闻名、本人也嗜赌成性的米兰医生，约 1564 年写成《论赌博游戏》一书，却已清楚意识到：掷两颗骰子，点数组合共有 36 种等可能情形，计算各点数出现次数之比才是公平的赔率。这是"样本空间"思想的第一次现身。可惜此书在他死后近九十年才于 1663 年出版，错过了影响欧洲的机会。 ...

20 世纪数学 一、1900 年的巴黎：希尔伯特的预言 1900 年 8 月 8 日，第二届国际数学家大会在巴黎举行，三十八岁的大卫·希尔伯特（David Hilbert，1862—1943 年）登台演讲《数学问题》。这位哥廷根的新领袖——此前他刚以不变量理论、代数数论巨著《数论报告》（1897 年）和《几何基础》（1899 年）三度改写所在领域的面貌——没有报告某个定理，而是替整个新世纪开列功课：演讲中实际讲了十道问题，会后发表的版本扩充为著名的 23 个问题，横跨数论、代数、几何、分析、数学物理与数学基础。名单拟定前他郑重咨询过好友闵可夫斯基与赫尔维茨：什么样的预测能既不落空、又引领百年？ ...