20 世纪数学
一、1900 年的巴黎：希尔伯特的预言
1900 年 8 月 8 日，第二届国际数学家大会在巴黎举行，三十八岁的大卫·希尔伯特（David Hilbert，1862—1943 年）登台演讲《数学问题》。这位哥廷根的新领袖——此前他刚以不变量理论、代数数论巨著《数论报告》（1897 年）和《几何基础》（1899 年）三度改写所在领域的面貌——没有报告某个定理，而是替整个新世纪开列功课：演讲中实际讲了十道问题，会后发表的版本扩充为著名的 23 个问题，横跨数论、代数、几何、分析、数学物理与数学基础。名单拟定前他郑重咨询过好友闵可夫斯基与赫尔维茨：什么样的预测能既不落空、又引领百年？
希尔伯特在演讲里表达了贯穿一生的乐观主义信念：任何明确的数学问题必定能获得确切解决，“在数学中没有’不可知’"。闵可夫斯基会前写信劝他：“最有吸引力的是展望未来、开列数学家在新世纪应当致力的目标——你将因此成为人们数十年的话题。“预言应验了。这份乐观三十年后会撞上哥德尔，但 1900 年的会场无人预见。23 道问题中：第一问是康托尔的连续统假设；第二问是算术公理的相容性——为即将到来的基础危机埋下伏笔；第六问要求把概率论与力学公理化（概率部分 1933 年由柯尔莫哥洛夫完成）；第八问是黎曼猜想外加哥德巴赫猜想与孪生素数猜想；第十问要求给出判定任意丢番图方程有无整数解的通用算法；第十八问追问空间能否被全等多面体无缝填满、怎样的球堆积最密。一场演讲就此成了 20 世纪数学的导航图。
二、23 问题的百年答卷
23 道问题的命运各不相同，几乎构成一部浓缩的世纪史。最快阵亡的是第三问题：等底等高的两个多面体是否必能切成同样的小块拼合？希尔伯特的学生德恩当年就证明不行，找到"德恩不变量"作为切割拼合的阻碍——它也是 23 题中第一个被解决的。第五问题（连续变换群可否免掉可微性假设）1952 年由格里森与蒙哥马利-齐平解决；第七问题（α^β 在代数数底与无理代数数指数下必为超越数）1934 年由盖尔丰德与施奈德各自独立证明；第十三问题（七次方程的解能否只用二元函数叠加表示）1957 年被柯尔莫哥洛夫与他的学生阿诺尔德以叠加定理正面击破——任何多元连续函数都能由一元函数与加法拼成，希尔伯特担心的障碍并不存在；第十七问题（正定多项式必为有理函数平方和）1927 年由阿廷拿下。
另一些问题则迎来了"无解之解”。第十问题 1970 年由二十二岁的苏联青年马季亚谢维奇终结——他补完戴维斯、普特南与罗宾逊夫人近二十年铺下的路，用斐波那契数列的指数增长性质补上最后一环，证明这样的通用算法不存在。“不存在"也是答案，而且是最硬的答案：它要求把"算法"本身变成数学对象，而这正是前一节的故事。第一问题连续统假设的答案更哲学：哥德尔 1938 年证明它与公理相容、科恩 1963 年证明其否定也相容，即它在 ZFC 中独立。第二问题则被哥德尔 1931 年的第二不完备定理直接釜底抽薪（详见本系列《集合论与数学基础危机》）。第八问题至今高悬，黎曼猜想仍是数论王冠上无人摘下的宝石，希尔伯特生前说过，若能沉睡五百年后醒来，他最想问的就是它解决了没有。第十八问题里夹带的开普勒球堆猜想，1998 年由黑尔斯宣布证明、2014 年完成计算机形式化验证——它同时预告了下一个故事的主角：机器。
三、不可判定的年代
哥德尔 1931 年证明：任何足够强的形式系统里都有既不可证也不可否的真命题（详见本系列《集合论与数学基础危机》）。这条定理还留下一个自然的缺口——它针对的是具体命题的可证性，而希尔伯特与阿克曼 1928 年在《理论逻辑基础》中提出的判定问题问得更狠：是否存在一种机械程序，输入任意一个逻辑命题，有限步内输出"可证"或"不可证”？要否定地回答它，先得回答一个此前没人认真定义过的问题：什么叫"机械程序”？日常语言里的"按规则一步步算"必须被替换成精确的数学对象，否则"不存在这样的程序"永远无法证明。
1936 年，两个答案几乎同时落地。普林斯顿的阿隆佐·丘奇用 λ 演算定义可计算性，证明判定问题无解；几乎同时，大洋彼岸剑桥一位二十四岁的研究生提交了论文《论可计算数及其在判定问题上的应用》，给出了一个完全不同的、却令所有人信服的模型。这个研究生叫艾伦·图灵（Alan Turing，1912—1954 年）。稍晚些，波兰裔逻辑学家波斯特也独立提出了极其类似的机器设想——“机械程序"的精确定义，在这一年完成了它的三重独立收敛。
四、图灵机：纸带上的全部计算
图灵的定义朴素得像儿童玩具：一条无限长的纸带划成方格，每格至多写一个符号；一个读写头每次注视一格，机器只有有限个内部状态；每一步按一张固定的规则表决定"写什么、往左还是往右走一格、转入哪个状态”。他论证：凡是人类计算员按规则能做的演算，这样的机器都能模拟——他把它直接想象成一张纸上按纪律工作的计算员。更惊人的是通用图灵机——存在一台固定的机器，只要纸带开头写入另一台机器的规则表编码，它就能模仿那台机器的行为。这就是”存储程序“的思想雏形：程序即数据，一台硬件可以化身为任何软件。
接着图灵用对角线法证明了停机问题不可判定：不存在通用算法能预判任意程序在任意输入上是否会停机。判定问题随之得否定的答案，与丘奇的结果殊途同归——“丘奇-图灵论题"自此把"可计算"这个概念钉死在数学里。图灵随后去普林斯顿随丘奇读博，1938 年获博士学位后回国，次年走进布莱切利庄园：他改进波兰同行雷耶夫斯基的设想，造出机电式的"炸弹"机成批破译德军恩尼格玛密码，为盟军在大西洋海战中争得了关键的主动权。战后他 1945 年底在国家物理实验室完成 ACE 计算机设计方案——最早详述存储程序电子计算机的文献之一，1950 年在《计算机器与智能》中提出"模仿游戏”——即图灵测试，为人工智能立下第一块界碑。1952 年他因同性恋被定罪并被迫接受激素"治疗”，1954 年 6 月死于氰化物中毒，床头留着咬过的半个苹果，年仅四十一岁。2013 年 12 月，英国王室正式赦免了他。
五、计算机重塑数学
图灵的纸带机器是思想实验，把它变成现实的是战争催生的电子工程：1945 年 6 月冯·诺依曼起草《EDVAC 报告书初稿》，系统陈述存储程序计算机的结构——运算器、存储器、控制器分工的经典格局后来就被称作"冯·诺依曼体系结构"；1946 年 2 月，宾夕法尼亚大学莫尔学院的 ENIAC 正式亮相，一万七千多根电子管、重达三十吨，每秒数千次加法，原本为计算火炮弹道表而生。数学与机器的关系从此逆转：机器不再只是替数学家算数，而开始参与数学研究本身。
1946 年，在洛斯阿拉莫斯研制核武器的团队里，乌拉姆与冯·诺依曼把"用随机抽样逼近复杂问题"的想法系统化，蒙特卡罗方法登上历史舞台——求解偏微分方程、模拟中子扩散，都用掷骰子来完成。数值分析、有限元、最优化理论在冷战需求中爆发式成长：丹齐克 1947 年提出单纯形法，线性规划从此支撑起整个运筹学；库利与图基 1965 年重新发现快速傅里叶变换，把信号处理的计算量压低数个数量级，数字时代的声音与图像才得以流动；气象学家用数值方程做天气预报，尽管 1950 年第一次在 ENIAC 上预报北美天气耗时比天气本身还慢，却证明了这条路走得通。数学从"纸笔的学问"变成了实验科学：先算出来看看，再想办法证明。
六、四色定理 1976：机器证明之争
这场转变在 1976 年迎来了它的象征性事件。故事起于 1852 年：伦敦学生弗朗西斯·格思里给英格兰地图涂色时发现四种颜色足够，他的哥哥把猜想转给德摩根，德摩根当天写信给哈密顿——这是四色猜想最早的文献记录。问题说的是：任何平面地图都可以用至多四种颜色着色，使相邻区域颜色不同。1878 年凯莱在伦敦数学会正式提出这个问题，次年肯普发表"证明"，被数学界接受了十一年，直到 1890 年希伍德找出其中的漏洞——他同时证明了五色一定够用，并把问题推广到任意曲面，给出与欧拉示性数挂钩的颜色数上界公式（球面之外的情形 1968 年由林格尔与扬斯完全解决，反而比平面的"四"更早尘埃落定）。
1976 年 7 月，伊利诺伊大学的阿佩尔与哈肯宣布证明了四色定理，次年正式发表。证明沿两条百年老路推进：肯普留下的"不可避免集"与"可约性"两件工具——用德国数学家希什 1969 年完善的"放电法"证明每张地图必含约一千九百多个"不可避免构形"之一，再逐一用计算机验证每个构形可约——后者在计算机上跑了约一千二百小时，合作者科赫编写的程序检查了海量分支，任何一个构形不可约，整个证明就会崩塌，所幸一个不漏全部通过。伊利诺伊大学数学系的邮戳上骄傲地印上"FOUR COLORS SUFFICE"（四种颜色足够）。争议随之而来：一份没人能手验的证明还算证明吗？哲学家蒂莫茨科 1979 年专文讨论它改变了"数学确定性"的含义；也有不少数学家干脆拒绝接受"读程序代替读证明"。反对声没有拦住历史：1996 年罗伯逊、桑德斯、西摩、托马斯四人给出更紧凑的证明，把构形压缩到 633 个并复查了全部细节——但关键步骤依然离不开计算机；2005 年贡蒂耶用 Coq 证明助手完成全机器形式化验证，连"验证程序本身可信吗"的质疑也被形式化逻辑封堵——从最初的"不可信"到最终的"零疑点"，四色定理成了计算机证明从异端到主流的缩影。
七、走向 21 世纪的图景
20 世纪数学的底色远不止问题与机器。1934 年末，韦伊、嘉当、迪厄多内、谢瓦莱等一群不满法国数学老化的年轻人在巴黎的咖啡馆里聚会，虚构出"尼古拉·布尔巴基“这个集体笔名，1935 年起以"结构"为纲重写全部数学基础，1939 年起陆续出版《数学原本》——这部多卷本巨著把代数结构、序结构、拓扑结构定为数学的三大母结构，一切理论按"公理—结构—定理"的格式严格排布，深刻塑造了战后几十年的数学写作与教学风格。1945 年艾伦伯格与麦克莱恩为代数拓扑发明范畴论，“对象与态射"的语言日后统一了从代数几何到理论计算机科学的广大领域，“自然变换"这样为造词而造词的概念竟成了世纪后半叶最实用的工具之一。
大工程也在收尾：有限单群分类——被誉为"群论的周期表”——1981 年由戈伦斯坦宣布基本完成，最后的"拟薄群"缺口 2004 年由阿施巴赫与史密斯补上，全部证明散见数百位作者的上万页论文，被称为"庞大定理”，没有任何一个人完整读过；怀尔斯 1995 年补完费马大定理的证明（本系列《数学的未来》已详述）。1936 年奥斯陆大会首次颁发的菲尔兹奖，由加拿大数学家菲尔兹的遗嘱设立，成了这个世纪数学英雄榜的仪式。这个世纪的数学产出呈爆炸式增长：1900 年全世界每年新增数学论文不过千篇，世纪末已逾十万篇——希尔伯特的时代，一人尚可俯瞰全图；到 2000 年，没有任何数学家敢说自己通晓哪怕一个分支的全部文献。2000 年 5 月，克雷数学研究所在巴黎法兰西公学院把希尔伯特的姿态重演了一遍：公布七个千禧年大奖难题、每题悬赏一百万美元，黎曼猜想与 P 对 NP 问题均在榜上；其中庞加莱猜想已由佩雷尔曼 2003 年用里奇流纲领解决，他随后拒绝了菲尔兹奖与那笔百万奖金。希尔伯特的墓碑上刻着他 1930 年在柯尼斯堡演讲结尾的那句名言：”我们必须知道，我们必将知道。“20 世纪数学用一百年时间证明：这句话只对了一半——而正是知道哪一半不可知，人类才真正懂得了"知道"的分量。