欧拉专题：七桥、最美公式与拓扑学的萌芽
一、欧拉其人：最忙碌的数学家
他是数学史上最高产的作家：一生留下八百五十多篇（部）论文与著作，圣彼得堡科学院在他死后继续出版其遗稿，前后忙了将近半个世纪；1911 年启动的《欧拉全集》工程预计超过八十卷，至今仍未出齐。更令人惊叹的是他与苦难的关系：1738 年右眼因病失明，1771 年左眼白内障恶化彻底全盲，同年住宅失火、手稿险些烧光——而他一生近一半的著作，是在双目失明后口授给助手和儿子记录而成的。法国物理学家阿拉戈说得精确：“欧拉计算起来毫不费力，就像人呼吸、鹰翱翔一样。”
他也不只是书斋里的纯粹数学家。在柏林，他替腓特烈大帝管过造币、彩票、运河水闸的设计，还为无忧宫的喷泉系统做过计算（喷泉从未正常工作，成了工程师之间流传的笑谈）；两次获得巴黎科学院悬赏的大奖之外，他一生共摘得该院年度征文奖十余次，前无古人。他两度结婚，育有十三个子女，只有五个活过童年——他常常一手抱孩子、一手演算。1783 年 9 月 18 日下午，他还在演算不久前蒙戈尔菲耶兄弟热气球升空的规律，傍晚喝茶时中风倒下。孔多塞在悼词里写道：“他停止了计算，也停止了生命。”
欧拉铺就的路基几乎覆盖当时数学的全部领域：分析学、数论、力学、天文、光学、图论。本篇只取三件最耐看的作品——一个散步的谜题、一条最美的等式、一个数出来的公式，它们恰好各自催生了一门新学科。
二、柯尼斯堡七桥问题
柯尼斯堡是普鲁士东部的一座商业城市（今俄罗斯加里宁格勒），普雷格尔河穿城而过，河心有两座岛——较大的克奈普霍夫岛和另一座小岛，河的两岸与两岛之间一共架着七座桥。市民中流传一个散步的谜题：**能不能设计一条路线，恰好每座桥走一次，再回到起点？**有人试过，都失败了，但没人能说清是"还没找到"还是"根本不存在"。1735 年，但泽市长卡尔·埃勒写信替柯尼斯堡的友人向欧拉求教，欧拉最初的反应是这类问题"与数学无关"——它不靠测量，也不靠计算，常规的几何与代数都派不上用场。可他转念一想，正是这种"无关"里藏着新东西。
1736 年，欧拉向圣彼得堡科学院提交了论文**《位置几何问题的解法》**（拉丁文题名为 Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis，1741 年正式刊出），把这道茶余饭后的谜题变成了数学。他的第一步就足以载入史册——抽象。欧拉写道：这个问题与桥的长度、陆地的面积统统无关，唯一要紧的是陆地块数与它们之间的连接关系。于是他把四块陆地缩成四个点，七座桥变成点与点之间的七条线，地图被压成了一张只有点和线的"图"。顺带一提，二战中柯尼斯堡遭盟军重创，七座老桥今已不存，欧拉当年分析过的地形只留在图论里。
接下来是推理。考虑一条"每边恰好走一次"的路线：对于任何一个中途经过的点，走进来一次就必须走出去一次，进出成对，所以该点连接的边数必须是偶数；只有起点和终点允许连接奇数条边。换句话说，能够一笔画成的图，“奇度点”（连接奇数条边的点）只能是 0 个（此时起点终点合一）或 2 个（一进一出）。欧拉在论文里还给出了可操作的判别程序：把每块陆地记作字母，数出与各陆地相连的桥数列成一张表，数一数表中奇数的个数即可裁决——全城人争论不休的散步难题，被压缩成一次算术检查。而柯尼斯堡的图上，四个点连接的桥数是 5、3、3、3——四个全是奇度点。结论斩钉截铁：这样的散步路线不存在。市民的问题被解决，但欧拉的目光已经越过这座城：他顺手讨论了一般情形，指出同样的判据适用于任何桥网。
三、一笔画定理：图论的诞生
欧拉在论文开头有一段意味深长的声明：这类问题不属于度量的几何，而属于莱布尼茨当年设想过的"位置几何"（geometria situs）——只研究位置关系，与长短、角度、曲直无关。这在当时是大胆的宣言：几何学两千年来一直与"度量"绑定，欧拉却指出存在一门只问连接、不问尺寸的几何。
这门学问后来的名字叫图论。七桥论文被公认为图论的第一篇文献，欧拉给出的一笔画判据（奇度点为 0 或 2）也成为图论的第一个定理——其严格完备的充分性证明由希尔霍尔策在 1873 年补全。图论此后一路生长：1847 年，基尔霍夫为分析电路网络引入"树"的概念，图论第一次有了物理应用；1857 年，凯莱用树的计数研究化学异构体的数目，图论闯进了化学；同年，哈密顿把十二面体上的回路游戏做成玩具出售，留下"哈密顿回路"这一至今活跃的名词；1852 年伦敦地图染色的"四色猜想"提出，折腾了数学界一百二十多年，1976 年才由阿佩尔与哈肯借助计算机证明；二十世纪中叶，埃尔德什与雷尼创立随机图理论，图论进入概率的时代；1936 年，匈牙利数学家柯尼希出版《有限图与无限图》，图论终于有了自己的教科书。
今天的图论早已不是游戏：社交网络的传播模型、芯片的布线、搜索引擎的网页排序、物流的调度优化，底层都是点与边的学问。一笔画思想还有一个接地气的中国变种：1962 年，我国数学家管梅谷提出邮递员最短路线问题——邮递员要走遍辖区每条街道至少一次且总路程最短，它在欧拉回路的基础上引入加权优化，被国际图论界称为"中国邮路问题"。三百年间，从柯尼斯堡的七座木桥到互联网的亿万节点，中间只隔着欧拉那一次抽象。
四、欧拉公式：最美的等式
如果说七桥问题展示了欧拉"做减法"的本领，欧拉公式展示的则是他"做乘法"的本领——把五个看似毫不相干的数学常数乘除加减进同一条等式。
链条的起点是复数与三角函数的关系。法国数学家棣莫弗（Abraham de Moivre，1667—1754 年）在十八世纪初已发现 (cos θ + i sin θ)ⁿ 与 cos nθ + i sin nθ 的对应；欧拉在 1748 年出版的两卷本**《无穷小分析引论》**中，把 eˣ、sin x、cos x 各自展成无穷级数，再把 x 换成 ix 代入对照，一个惊人的事实浮现出来：
e^(ix) = cos x + i sin x
指数函数与三角函数——一个来自复利与增长，一个来自圆与角——在复数的国度里原来是同一回事。数学界通常把这条带 x 的通式称为"欧拉公式"。代入 x = π，cos π = −1，sin π = 0，便得到那条被称为"欧拉恒等式"的特例：
e^(iπ) + 1 = 0
一条等式，串起五个常数：算术的基石 0 与 1，几何的 π，分析学的 e，代数的虚数单位 i；用到加、乘、幂三种基本运算，还有等号本身。费曼在黑板上写下它，称之为"数学中最非凡的公式"；1988 年《数学信使》杂志组织读者评选"最美定理"，它以明显优势夺魁。欧拉本人并没有在著作中把这条特例单独圈出——对他而言它只是通式的一个瞬间；是后世读者反复凝视，才发现这个瞬间里浓缩了整个数学。这条公式的实用价值同样惊人：复指数是傅里叶分析与信号处理的语言基石，交流电、量子力学、图像压缩里的每一次波形分解，都在默默调用它。
《无穷小分析引论》本身同样值得铭记。欧拉在书中把函数确立为分析学的中心概念——在他之前，分析学的研究对象是"曲线"，在他之后，对象是函数。他还引入或推广了一批沿用至今的记号：e 表示自然对数的底，i 表示虚数单位，π 表示圆周率，Σ 表示求和，f(x) 表示函数。全世界数学教材使用的语言，大半是欧拉的笔迹。
五、多面体公式与拓扑学的萌芽
V − E + F = 2
正四面体：4 − 6 + 4 = 2；立方体：8 − 12 + 6 = 2；正十二面体：20 − 30 + 12 = 2。笛卡尔在约 1630 年的手稿里其实已触及等价的结果（多面体立体角的"亏量"总和恒定），但这份手稿的命运多舛：笛卡尔 1650 年客死瑞典后手稿几经流转，莱布尼茨 1676 年在巴黎抄录了一份副本，此后原件与抄本双双沉寂，直到 1860 年才在汉诺威的图书馆里重见天日——世人因此一直把公式完全记在欧拉名下。欧拉 1752 年发表了论文，他给出的第一个证明有漏洞；第一个站得住的证明出自勒让德 1794 年的《几何学原理》，柯西 1813 年则给出了另一个著名证明——把多面体"摊平"成平面图再逐块分析。
故事并没有停在"2"上。1812 年前后，瑞士数学家吕利耶发现了"不守规矩"的多面体：一个中间打穿一个洞的环状体，V − E + F 不等于 2，而等于 0。洞越多，这个数越小——公式被修正为 V − E + F = 2 − 2g，g 是"洞"（亏格）的个数。数学家们猛然意识到：这个数根本不属于多面体的棱角，它刻画的是曲面被任意拉伸变形都不改变的性质。拉卡托斯后来在《证明与反驳》里用一出课堂对话还原了这段"证明—反例—修正"的曲折史，成为数学哲学的经典。
这正是欧拉在七桥论文里预告的"位置几何"的第二次现身。欧拉示性数由此升格为曲面的"身份证"：球面类为 2，环面类为 0，双洞环面为 −2——只数洞，不问形状。1847 年，德国学者利斯廷正式为这门学问取名"拓扑学"（Topologie）；1895 年，庞加莱发表长文《位置分析》（Analysis Situs），把欧拉示性数推广到高维，代数拓扑学由此奠基。今天拓扑学家给曲面分类、给纽结贴标签、在数据分析里寻找"洞"，用的语言都能追溯回那次数数：顶点减棱再加面。
六、欧拉的遗产
七桥、公式、多面体之外，还有一长串以他命名的坐标：1735 年解决巴塞尔问题，算出全体平方数倒数之和为 π²/6，一举成名——这道题此前难住了包括伯努利家族在内的欧洲群雄九十多年；1736 年出版的**《力学》是第一部用分析方法系统重写牛顿力学的教科书，质点力学从此进入微分方程的时代；1744 年的著作创立变分法**的体系，十九岁的拉格朗日 1755 年寄来更优美的方法，欧拉读后大加赞赏，压下自己已排版的论文，让年轻人的方法先行发表，这门学科的核心方程从此叫"欧拉-拉格朗日方程"；数论里他证明了费马的一串猜想（包括"每个整数都是四个平方数之和"的关键一步），又把费马小定理推广为欧拉定理；天文上他给出的月球运动表直接服务于航海经度的测定，为此与英国人分享过奖金；力学里他用分析方法重写牛顿，留下刚体运动的欧拉角和流体力学的欧拉方程。
沙俄科学院在他去世后继续为他出了近五十年的论文；拉普拉斯对后辈的嘱咐只有一句："读读欧拉，读读欧拉，他是我们所有人的老师。“三百年后回头看，这句评语依然成立：欧拉的符号写在每一本教材里，欧拉的图论运行在每一台路由器里，欧拉的等式印在无数件 T 恤上。一个牧师的儿子，用七十六年的人生，给数学换了一套操作系统。