微积分的诞生：牛顿、莱布尼茨与优先权之争
一、前夜：不可分量与解析几何
开普勒在 1615 年的《酒桶新立体几何》中，为了搞清酒商如何测量酒桶容积，把立体看作无穷多薄片的叠合；他的行星第二定律——行星与太阳的连线在相等时间内扫过相等面积——本质上已是一个积分命题。卡瓦列里（Bonaventura Cavalieri，1598—1647 年）在 1635 年的《用新方法促进的连续不可分量几何学》中把面积看作无穷多条"不可分"线段的和、体积看作无穷多薄片的和，用这套粗糙但高效的思想算出了许多积分结果——幂函数 xⁿ 的积分公式就是这样被他一个一个啃下来的。费马则发明了求极值的"准等式"法：让 f(x) 与 f(x+e) 近似相等，两边约掉 e，再令 e"消失"——这已经是求导的操作流程。他的同胞罗伯瓦尔（Gilles de Roberval）与意大利人托里拆利（Evangelista Torricelli，1608—1647 年）沿着不可分量的路线求出了摆线一拱下的面积等一连串成果；圣文森特的格雷戈里还发现双曲线 y = 1/x 下的面积恰好对应自然对数，把积分与对数函数悄悄系在了一起。沃利斯（John Wallis，1616—1703 年）1655 年的《无穷算术》把插值法推到分数指数，给出了 π/2 的无穷乘积表达式。
语言上的准备也在此时完成：1637 年笛卡尔发表《几何学》，把曲线翻译成方程，几何问题从此可以用代数演算处理。苏格兰人格里高利（James Gregory，1638—1675 年）也不应被遗漏：他 1668 年的著作里已包含微积分基本定理的几何形式，1671 年又得到 arctan x 的无穷级数展开——代入 x = 1 就是著名的 π/4 = 1 − 1/3 + 1/5 − ⋯（莱布尼茨几年后独立得到同一结果）。牛顿的老师巴罗（Isaac Barrow，1630—1677 年）——剑桥大学卢卡斯讲席首任教授——在几何讲义中已明确意识到"求切线"与"求面积"是互逆的运算，这就是微积分基本定理的雏形。1669 年，巴罗辞去讲席，把位置让给了一位二十七岁的年轻人：艾萨克·牛顿。
二、牛顿：瘟疫年的流数术
牛顿（Isaac Newton，1642—1727 年）出生在林肯郡伍尔索普村，遗腹子，幼年由外祖母抚养。1661 年他进入剑桥三一学院，起初成绩平平，靠做减费生（为富家子弟服务换减免）维持学业，转折点是他遇到了巴罗，并一头扎进笛卡尔、沃利斯的新数学。
1665 年夏，伦敦爆发大瘟疫，剑桥关闭，牛顿回乡避祸。从 1665 年中到 1667 年初的十八个月，就是科学史上著名的"奇迹年"：他在这段时间里证明了广义二项式定理（把帕斯卡三角形推广到分数和负指数，例如把 1/√(1+x) 展开成无穷级数），创立了流数术，并开始构思万有引力。无穷级数在他手里不只是表示工具，而是计算引擎：把函数展成级数，再逐项求流数或积分，原本无从下手的曲线问题就变成了机械的代数运算。1666 年 10 月的一份手稿里，流数法已经成形：牛顿把量看作随时间连续流动的"流量"（fluent），其变化率叫"流数"（fluxion），记作 ẋ、ẏ；流数在"无穷小瞬间" o 内的增量叫"刹那"（moment）。他写下了基本法则：xⁿ 的流数是 nxⁿ⁻¹ẋ，并用流数法求切线、曲率、面积。
奇怪的是，牛顿迟迟不发表。1669 年他把成果写成《运用无穷多项方程的分析学》，经巴罗转交数学家柯林斯传阅，但正式出版拖到 1711 年；1671 年写成的《流数法与无穷级数》更是压到 1736 年——他死后九年——才印行。1676 年，他经皇家学会秘书奥尔登堡中转，两次致信莱布尼茨，在第二封信里用字母乱序的"字谜"藏起流数法的核心命题——日后可以解出密码宣示优先，却又不必担心被人偷学。这种半公开半隐藏的通信方式，反映了那个时代学术传播的别扭生态。1684 年初，天文学家哈雷登门求教行星轨道问题，牛顿写下九页的《论运动》作答，随后用十八个月把它扩成巨著——1687 年的**《自然哲学的数学原理》**是人类历史上最伟大的科学著作，用数学统一了地面力学与天体运行，从运动三定律和万有引力推出开普勒三定律，但它通篇披着古典几何的外衣，微积分思想被翻译成繁琐的综合证明，只在第一编第一章的"首末比"引理里留下了极限思想的影子。牛顿对批评极度敏感，早年一次光学争论就足以让他退隐多年——这种性格为日后的公案埋下了引线。
三、莱布尼茨：外交官的副业
1675 年是数学记号史上的分水岭。这一年 10 月 29 日的手稿里，莱布尼茨第一次写下 ∫ 记号——拉丁文 summa（总和）首字母 S 的拉长，表示"求所有这样的量之和”；两周后（11 月 11 日）的手稿里，d 记号登场，dx 表示 x 的无穷小差分。他很快推导出乘积与商的微分法则，同一时期的手稿里已经出现 ∫x dx = x²/2 这类基本积分，微分与积分的互逆关系也在通信中表述得清清楚楚。1676 年秋他离开巴黎，赴汉诺威出任不伦瑞克公爵的图书馆长，此后四十年间微积分只是他浩瀚工作中的一项副业。与牛顿的"时间—流动"图景不同，莱布尼茨的微积分建立在离散的差分与求和之上，更像今天的形式演算。
莱布尼茨极其看重记号的力量。他一生都在追求一种"通用文字"——让人类的推理变成像计算一样机械可靠的符号操作。dy/dx 这个商的形式，天然暗示了链式法则（dy/dx = dy/du · du/dx）和积分换元，这是牛顿的点记号做不到的。两百年后人们才完全明白：他发明的不是缩写，而是一套让思维自动运转的机器。顺带一提，微积分只是他的副业之一：1679 年他写下二进制算术的构想，1703 年正式发表，成为今天数字计算机的数制源头；1678 年左右他还提出了行列式的概念雏形。
四、1684：微积分公之于世
1684 年 10 月，莱布尼茨在自己参与创办的学术刊物**《教师学报》（Acta Eruditorum）上发表《一种求极大极小与切线的新方法》——短短六页，没有插图细节，没有证明，却完整给出了微分的定义、记号与运算法则。这是微积分的第一次公开发表**。1686 年他又发表积分学论文，∫ 记号正式亮相。
相比之下，牛顿的流数法首次印刷问世是 1704 年《光学》附录里的《曲线求积术》——比莱布尼茨晚了整整二十年。更要命的是传播生态：莱布尼茨的记号简洁易学，迅速聚拢了一批追随者。雅各布·伯努利与约翰·伯努利兄弟把新方法磨得锋利无比，最速降线、悬链线、等时曲线一个个被攻克，“积分”（integral）这个术语就是兄弟俩推广开的。1696 年，法国贵族洛必达出版《无穷小分析》，成为史上第一部微积分教科书——书名里的"无穷小分析"日后成了这门学科的正式名称，而书中内容大部分来自约翰·伯努利的讲义：伯努利与洛必达签过一纸奇特的契约，贵族出钱，数学家出让成果的署名权，著名的"洛必达法则"其实出自伯努利。微积分在大陆成了一把众人挥舞的快刀，牛顿的流数术却像锁在匣中的传家宝。
五、优先权之争
火药桶在 1699 年点燃。瑞士数学家法蒂奥公开暗示莱布尼茨的微积分"借鉴"了牛顿——莱布尼茨 1673 年、1676 年两度访问伦敦，见过柯林斯，接触过牛顿的《分析学》手稿，这成了"剽窃说"的全部物证。1708 年起，英国皇家学会的凯尔（John Keill）多次发文，指名道姓指控莱布尼茨剽窃。莱布尼茨 1711 年致信皇家学会要求澄清和道歉。
皇家学会 1712 年成立了一个"公正"的委员会，1713 年发布报告**《通报》（Commercium Epistolicum），结论：牛顿是第一发明人，莱布尼茨的方法"与牛顿的实质相同"，只差记号。后世学者从牛顿的遗稿里发现：这份报告的不少段落出自牛顿本人之手——他此时正是皇家学会主席——他还匿名撰写书评为自己的报告叫好，甚至亲手修订了报告的第二版。莱布尼茨到死（1716 年）都没有得到他想要的公正。交锋中还有一个著名插曲：1696 年约翰·伯努利发出最速降线**挑战——质点沿什么曲线下滑最快——牛顿收到题后一个通宵解出（答案是摆线），匿名投稿，伯努利一眼就认出作者：“如狮子之爪，一望便知。”
现代史学界的结论早已清晰：两人独立发明了微积分。牛顿在先（1665—1666 年），但没有发表；莱布尼茨晚了约十年，却走出了完全不同的概念路径，并率先公之于世（1684 年）。莱布尼茨确实看过牛顿的早期手稿，但他接触到的内容主要是无穷级数而非流数法，他的差分—求和体系自成一家。优先权之争没有分出胜负，却分出了阵营。两位主角的身后际遇恰成对照：1716 年莱布尼茨在汉诺威孤寂病逝，葬礼冷清到几乎只有他的秘书出席；1727 年牛顿去世，以国葬之礼长眠威斯敏斯特教堂，伏尔泰恰在伦敦，惊叹于"一个数学家在这里像国王一样下葬"。
六、百年隔绝与记号的胜利
争论的代价由英国数学偿付。出于民族情绪，英国学界固守牛顿的几何传统和点记号，拒绝使用大陆的 d 记号；而大陆数学家在莱布尼茨记号的基础上狂飙突进——伯努利家族、欧拉、拉格朗日、拉普拉斯，一个世纪里把分析学建成摩天大厦。十八世纪的英国数学几乎交了白卷，连英国人自己都承认落后了。
转折发生在 1812 年。剑桥的一群学生——巴贝奇、皮科克、赫歇尔——成立"分析学会"，翻译大陆教科书，强行推广莱布尼茨记号。巴贝奇留下一句著名的双关语，说要用"纯粹的 d-主义"（d-ism）对抗大学的"点时代"（dot-age，谐音 dotage"昏聩"）。这场学生运动赢了，英国数学重新接回欧洲大陆的主干。当然，说英国十八世纪"交了白卷"也有失公允：泰勒 1715 年发表了以他命名的级数展开定理，麦克劳林 1742 年的《流数论》是为回应批评、给牛顿方法打下严格地基的严肃尝试——只是与大陆伯努利—欧拉一脉的洪流相比，英国终究是支流。
至于两位发明人争论不休的"无穷小究竟是什么"，他们都没能回答——牛顿的"刹那"和莱布尼茨的 dx 都是直觉工具，逻辑上漏洞百出。爱尔兰的贝克莱主教 1734 年发表《分析学家》，辛辣地把无穷小称为"消逝量的鬼魂"：既然增量最后要当作零扔掉，当初凭什么当作非零除？这一击正中要害，数学家们花了一个世纪才接住。严格的回答要等到十九世纪柯西与魏尔斯特拉斯的 ε-δ 极限理论。但这不妨碍微积分在严格化之前就先征服了世界：它先是对的，然后才是严密的——数学有时就是这样长大的。