数学与哲学
一、柏拉图：数学是发现
这种柏拉图主义至今仍是许多数学家的本能信仰。当哈代在《一个数学家的辩白》里声称数学真理是客观存在、数学家只是观察者时，他站在柏拉图一边。
二、亚里士多德：数学是抽象
他还区分了潜在无穷与实在无穷，只承认前者——一条线段可以无限分割下去，但不存在一个"完成了的"无穷集合。这场师徒之争划出了此后两千年数学哲学的两大阵营：实在论与唯名论。
三、经验主义与理性主义
近代哲学家把争论延续到认识论层面。经验主义者约翰·斯图尔特·密尔（John Stuart Mill，1806—1873 年）在 1843 年的《逻辑体系》中主张数学知识来自经验——“2+1=3"不过是对无数次摆放石子的高度概括。理性主义者笛卡尔（René Descartes，1596—1650 年）与莱布尼茨（Gottfried Leibniz，1646—1716 年）则坚持数学真理由纯粹理性把握，不依赖任何观察——即使世界上没有三角形，三角形内角和依然是 180 度。
1781 年，康德（Immanuel Kant，1724—1804 年）在《纯粹理性批判》中试图调和两派，提出数学判断是"先天综合判断”——它既普遍必然，又实实在在扩充了我们的知识。
19 世纪末，争论升级为一场"数学基础研究"的竞赛。戈特洛布·弗雷格（Gottlob Frege，1848—1925 年）是逻辑主义的先驱，1879 年发表《概念文字》，试图把算术还原为纯逻辑。就在他的两卷本《算术基本规律》即将出齐时，1902 年罗素寄来一封信，指出他的系统里藏着一个致命矛盾——“所有不属于自身的集合所构成的集合"既属于自己又不属于自己。弗雷格在第二卷附录里黯然承认：大厦的地基塌了。这就是著名的罗素悖论，它直接引爆了第三次数学危机。
四、形式主义与哥德尔的惊雷
20 世纪初，大卫·希尔伯特（David Hilbert，1862—1943 年）举起形式主义大旗：数学就是按规则操作符号的游戏，符号本身不必有任何含义。1930 年他在故乡柯尼斯堡的演说中信心十足地宣告"我们必须知道，我们必将知道”，梦想把整个数学装进一个完备、自洽的公理系统。
第二年，这个梦想就被击碎。1931 年，二十五岁的库尔特·哥德尔（Kurt Gödel，1906—1978 年）发表了不完备定理：任何足以表达算术的一致形式系统，都必然包含无法被证明的真命题；系统的一致性也无法在系统内部证明。数学真理的疆域，永远大于任何公理系统的版图。据说希尔伯特得知后一度愤怒，随后平静地接受了现实。
五、直觉主义：数学是构造
与希尔伯特针锋相对的是鲁伊兹·布劳威尔（L. E. J. Brouwer，1881—1966 年）的直觉主义：数学对象只有被人类心智构造出来才算存在。他拒绝在证明中无条件使用排中律——“存在一个满足某性质的数"必须给出构造方法，不能靠"假设不存在导致矛盾"来断言。两人的分歧最终演变成一场学术战争：1928 年，希尔伯特把布劳威尔逐出了《数学年刊》编委会。
直觉主义当年被希尔伯特讥为"砍掉数学的手脚”，却在计算机时代意外复活：柯里-霍华德对应揭示了构造性证明与计算机程序之间的深刻同一——证明就是程序，程序就是证明。今天的定理证明器 Coq 与 Lean，底层流淌的正是直觉主义的血液。
六、未解之谜
数学的本质究竟是什么？1960 年，尤金·维格纳（Eugene Wigner，1902—1995 年）在著名论文中称之为”数学在自然科学中不合理的有效性"：纯粹由人类心智编织的数学结构，为何能如此精确地预言物理世界？
两千四百年过去，柏拉图的问题依然悬而未决。耐人寻味的是，哥德尔本人就是坚定的柏拉图主义者——他证明形式系统装不下全部真理，恰恰因为他相信真理独立存在于系统之外。20 世纪中叶，哲学家蒯因（Willard Van Orman Quine，1908—2000 年）与普特南还提出了”不可或缺性论证"：既然数学对自然科学不可或缺，而自然科学为真，我们就有理由相信数学对象存在——柏拉图的幽灵换上了分析哲学的外衣。
也许正如罗素（Bertrand Russell，1872—1970 年）所说，数学是这样一门学问：我们在其中既不知道自己在谈论什么，也不知道自己说的是否正确——但这并不妨碍它成为人类理性最辉煌的纪念碑。