几何学革命
一、第五公设的千年悬案
两千年来，无数数学家试图从前四条公设推出第五条：5 世纪的普罗克洛斯试过，18 世纪的萨凯里试过——他 1733 年出版《为欧几里得辩护》，已经走到了非欧几何的门口，却在最后一步掉头宣布"矛盾"。全部尝试都失败了。而这场漫长的失败，最终酝酿出数学史上最深刻的革命之一。
二、非欧几何的诞生
几乎同时，匈牙利军官亚诺什·鲍耶（János Bolyai，1802—1860 年）独立完成了同样的工作。1832 年，他父亲把儿子的成果附在自己的著作里寄给高斯，得到的回音却是"我不能称赞他，因为这等于称赞我自己——这些结果与我三十多年的思考完全吻合"。年轻的鲍耶从此消沉，再没有发表数学成果。
1854 年，伯恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann，1826—1866 年）在哥廷根的就职演讲中把革命推向顶峰：他提出黎曼几何，允许空间的曲率处处变化，三角形内角和可以大于 180 度。据说听众席上的高斯大为震动。1868 年贝尔特拉米证明：如果欧氏几何无矛盾，非欧几何同样无矛盾——两千年的悬案就此了结。
非欧几何的哲学意义同样深远——它表明数学不是关于现实世界的必然真理，而是关于可能世界的逻辑结构。
三、微分几何
微分几何用微积分研究曲线与曲面。1827 年，高斯证明了绝妙定理（Theorema Egregium）：曲面的高斯曲率是内蕴的——生活在曲面上的生物不需要借助更高维的空间，就能测出自己世界的弯曲。据说高斯主持汉诺威土地测量时，曾想用三座山峰构成的巨大三角形检验现实空间是否弯曲——尽管测不出任何偏差，这个念头本身就是革命性的：空间的几何性质，第一次变成了可以用实验回答的经验问题。黎曼把这一思想推广到任意维度，建立了黎曼流形的框架。半个世纪后，这套数学成了爱因斯坦广义相对论的语言。可惜黎曼体弱多病，1866 年因肺结核病逝于意大利，年仅三十九岁——他十年的数学生涯，种下了后世一个世纪的收成。
几何学的革命并未止步。19 世纪末，亨利·庞加莱（Henri Poincaré，1854—1912 年）创立拓扑学，研究图形在连续变形下不变的性质——咖啡杯与甜甜圈在拓扑学家眼中没有分别。1904 年他提出的庞加莱猜想，整整一百年后才由俄罗斯数学家佩雷尔曼证明，成为七个千禧年大奖难题中第一个被攻克的问题。
四、代数几何
代数几何研究代数方程定义的几何图形，源头可追溯到勒内·笛卡尔（René Descartes，1596—1650 年）1637 年创立的解析几何——坐标第一次把形与数连成一体。
20 世纪，亚历山大·格罗滕迪克（Alexander Grothendieck，1928—2014 年）以概形（Scheme）概念彻底重建了代数几何的地基。这位出生于柏林的无国籍者在 1958 年入主法国高等科学研究所，随后十年领衔撰写的《代数几何原本》（EGA）和《代数几何讨论班》（SGA）加起来超过七千页，重塑了整整一代数学家的语言。1966 年他获得菲尔兹奖，却拒绝前往莫斯科领奖；1970 年又因研究所接受军方资助愤而辞职，晚年隐居比利牛斯山区。怀尔斯证明费马大定理所用的工具，正是格罗滕迪克锻造的那套器械。
五、陈省身与整体微分几何
陈省身（1911—2004 年）是 20 世纪微分几何的集大成者。他生于浙江嘉兴，从南开大学毕业后赴汉堡大学师从布拉施克，又赴巴黎追随嘉当。1944 年，他给出了高维高斯-博内公式的内蕴证明，开创了整体微分几何；他引入的陈类成为连接几何与拓扑的核心概念。后来他执教于普林斯顿和伯克利，亲手创办了伯克利数学科学研究所并任首任所长。
晚年陈省身回到中国，1985 年在天津创办南开数学研究所，为中国数学培养了整整一代人。2010 年起，国际数学联盟设立"陈省身奖"，四年一届，是数学界的最高荣誉之一。
六、走向统一
现代几何学的边界正在消融：代数几何、微分几何与拓扑学彼此渗透，朗兰兹纲领试图把数论与几何焊为一体。几何学两千五百年的历史证明：数学从来不是孤立的岛屿，每一次几何革命，都推动了整个数学大陆的漂移。正如陈省身所说，几何学的任务，就是在千变万化的形状之中，找出那些不变的东西。