代数学的抽象化
一、从方程到结构
此后一千年，代数学的中心任务只有一个：解方程。16 世纪，意大利数学家卡尔达诺与塔尔塔利亚争抢着发表了三次方程的求根公式，卡尔达诺的学生费拉里又攻克了四次方程。人们自然以为五次方程只是时间问题。但 1824 年，尼尔斯·阿贝尔（Niels Henrik Abel，1802—1829 年）证明了五次方程没有一般的根式解。1832 年决斗身亡的前夜，不满二十一岁的埃瓦里斯特·伽罗瓦（Évariste Galois，1811—1832 年）通宵写下手稿，用群的概念彻底回答了"什么样的方程可解"。代数学的目光从此从方程本身，转向了方程背后的抽象结构——群、环、域、向量空间。
二、群论：对称的语言
这个定义看似平淡，威力却惊人。1843 年 10 月 16 日，威廉·哈密顿（William Rowan Hamilton，1805—1865 年）在都柏林的一座运河边桥上散步时悟出了四元数——一种乘法不再满足交换律的数系。传说他当场用折刀把基本公式 i² = j² = k² = ijk = -1 刻在了桥石上。四元数打破了"数必须可交换"的千年成见，为抽象代数撕开了第一道裂口。1872 年，费利克斯·克莱因（Felix Klein，1849—1925 年）发表《埃尔朗根纲领》，干脆用群论统一了全部几何学——一种几何，就是一个变换群下的不变量。
今天群论无处不在：对称群刻画几何体的对称，李群描述连续对称。1870 年代，挪威数学家索菲斯·李（Sophus Lie，1842—1899 年）创立李群理论，本意是用"连续群"研究微分方程，没想到一个世纪后成了理论物理的通用语言。粒子物理的标准模型就建立在李群表示论之上——每一种基本粒子，都对应着某个对称群的一个表示。
三、环与域
环有两个运算——加法和乘法，整数环、多项式环都是例子。域是特殊的环：每个非零元素都有乘法逆元，有理数域、实数域、复数域都是域。
伽罗瓦理论研究的正是域的扩张——它把方程的可解性问题翻译成域与群的结构问题，让"求根公式"这个千年难题变成结构之间的一一对应。代数学从此从计算技艺上升为结构科学。
这条结构化的道路此后越走越宽。理查德·戴德金（Richard Dedekind，1831—1916 年）1871 年为了挽救库默尔的"理想数"而引入理想概念，第一次把代数数论建立在集合与结构的语言上。到了 20 世纪 30 年代，一群自称"布尔巴基"的法国数学家干脆以结构为纲重写全部数学，把"母结构"——代数结构、序结构、拓扑结构——奉为数学的基本框架。
四、埃米·诺特
埃米·诺特（Emmy Noether，1882—1935 年）被爱因斯坦誉为"自有女性接受高等教育以来最富创造性的数学天才"。1915 年她应希尔伯特与克莱因之邀来到哥廷根，却因女性身份被校方拒绝授予教师资格。希尔伯特在评议会上的抗辩流传至今：“候选人的性别不能成为反对她授课的理由——我们这里毕竟是大学，不是澡堂。”
诺特系统建立了理想理论，奠定了现代环论的基础，围绕她形成了著名的"诺特学派"；1930 年范德瓦尔登出版《近世代数》，把她的讲义变成了此后百年代数学的标准语言。1918 年，她还证明了诺特定理：每一个连续对称性都对应一条守恒定律——时间平移对称对应能量守恒，空间平移对称对应动量守恒。这条定理如今是理论物理学的基石。1933 年纳粹上台，她因犹太血统被解职，流亡美国，两年后因手术并发症去世，年仅五十三岁。她的离去，也宣告了哥廷根数学黄金时代的落幕。
五、范畴论：数学的数学
1945 年，塞缪尔·艾伦伯格（Samuel Eilenberg，1913—1998 年）与桑德斯·麦克莱恩（Saunders Mac Lane，1909—2005 年）创立了范畴论——研究对象不再是数学对象本身，而是对象之间的态射。
范畴论提供了一种统一语言，让拓扑学、代数学、逻辑学中看似无关的构造显出相同的骨架，被称为"数学的数学"。今天它甚至渗入了计算机科学——函数式编程语言 Haskell 的类型系统，就深深打着范畴论的烙印。
六、抽象的力量
抽象代数的发展揭示了数学的一个深刻特点：越抽象的理论，应用往往越广泛。群论为解方程而生，却成了物理学和化学的语言；诺特定理出自纯粹的对称思考，却道出了自然界的守恒铁律。阿贝尔与伽罗瓦生前穷困潦倒、无人问津，他们留下的结构却支撑起整个现代科学。这种"不合理的有效性"，正是数学最迷人的谜。
当然，抽象化也有过代价。布尔巴基学派从 1939 年起陆续出版《数学原理》，以结构为纲重写数学，影响波及 1960 年代美国的"新数学"运动——那场把集合论搬进中小学课堂的改革最终铩羽而归，成为抽象化过度扩张的警示。